数字のマジック～その２～「偏差値」②（神戸市北区西鈴蘭台の塾・灘中学受験Academia） #中学受験 #偏差値 #数字のマジック

神戸市北区西鈴蘭台の塾、中学受験・中高一貫校進学指導専門塾の灘中学受験Academiaです。中学受験において「偏差値信仰」が危険だと言うのはなぜなのか。それをお話しする前に「偏差値」がどのようにして求められるのか、数学的な難しさをなるべく排除した形でご説明したいと思います。数学に詳しい方から見れば不正確な部分もあるでしょうが、あくまでも一般的な「中学受験させる親御さん」向けであることをご理解ください。厳しいことを言いますが、親御がこれくらい理解できないのでは、お子さんに対して「勉強ができない」という資格はないですよ。

まず、「偏差値」の計算には「偏差」を計算する必要があります。「偏差」とは「偏り＝データのばらつき」のことで、簡単に言えば「上位と下位の点差が大きかったか小さかったか」平均点付近に多くが固まっていれば「偏差」が小さいということ。では、この「偏差」をどう計算すればいいのでしょうか。「全員の『点差＝得点－平均』を足せばいいじゃん。」と思った方、残念ながらこれはダメ。どんなデータでも０になってしまいます。そもそも「平均」が凸凹を均した数字なので、プラスマイナスが必ず同じになりますから。

では、「絶対値を使ってマイナスをプラスにして計算すればいい。」確かにその通りなのですが、絶対値ってすごく扱いにくいんです。データが10個や20個なら強引に手計算してもよいのでしょうが、数百、数千ともなると…他にマイナスをプラスにする方法はないか。それは2乗することです。「得点－平均」の2乗を全員分合計したものを「分散」といい、この「分散」の正の平方根を「標準偏差」といいます。なぜ平方根にするかというと、「分散」の単位は「点²」ですが、「標準偏差」の単位は「点」になり、得点や平均点と同列に扱うことができるからです。（「㎝²」と「㎝」のようなもの）ここまででようやく「前説」終了です。

本題の「偏差値」の計算式に進みましょう。「『偏差値』＝10×（得点－平均点）÷『標準偏差』＋50」例えば、平均55点、標準偏差15点のテストだとすると、得点55点（平均点ちょうど）の生徒は偏差値50、得点が70点、85点、100点の生徒はそれぞれ偏差値60、70、80となり、得点が40点、25点、10点の生徒はそれぞれ偏差値40、30、20となります。この場合は1.5点違うと偏差値が1違うことになります。「なんだ、結局『得点』で決まるのならわざわざ『偏差値』にしなくてもいいじゃん。」もう少しお付き合いを。

この「偏差値」、データが「正規分布」することが前提。「正規分布」とは、データをグラフ（横軸が得点、縦軸が人数）にしたとき、富士山の裾野のような左右対称のきれいなグラフになるものをいいます。μが平均、σが標準偏差で、得点μ＋σ、μ＋２σ、μ＋３σがそれぞれ偏差値60、70、80を、得点μ－σ、μ－２σ、μ－３σがそれぞれ偏差値40、30、20を表します。このとき、偏差値80で上位0.13％、70で上位2.28％、60で上位15.87％となります。「偏差値60では不満」という親御さんもいますが、それでも100人中16番ですから、その集団ではかなり上位だと言えます。

「正規分布」する同じ母集団（受験生）であれば、異なるテストでも「集団での相対的位置」がどう変化したかを「偏差値」ですぐ把握することができます。これは得点だけではわかりにくいですよね。模試会社や塾は、過去の塾生の合格状況や諸々の情報を基に、どの偏差値であればどの学校に合格できるかということで判定を出します。例えば、A塾のテストで「P校の80％合格判定の偏差値が70である」というのは、「A塾の同学年の中で上位3％程度に入っていれば、P校に5人中4人は合格できるレベルにある。」ということです。

「偏差値」がどういうものかご理解いただけましたか？「『偏差値』の数字のマジックに騙されるな」と言う前に、そもそも「偏差値」のことを知らないと言うのではお話しになりませんから。逆に言えば、「偏差値」が何かもよくよく知らずに「偏差値が…」と言うこと自体に、「偏差値」を絶対視することの矛盾が隠れているのです。長くなりましたので、今回はここまで。では、また。